Modelos - Punto Extra

1 Intrucciones

Considera dos variables \(X\) y \(Y\) con distribución exponencial donde una tiene valor esperado que sea el doble del valor esperado de la otra (tú decides el parámetro).

1. Escoge al menos 5 tipos de cópulas para modelar la dependencia entre ellas, para cada cópula escoge parámetros que reflejen una dependencia negativa y una dependencia positiva (en total tendrás 10 modelos). Para cada uno de los 10 modelos:
   1. Muestra la función de distribución conjunta de \(X\) y \(Y\) (la fórmula).
   2. Grafica la función de densidad conjunta de \(X\) y \(Y\).
   3. Varianza de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
   4. Desviación estándar de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
   5. Cuantil al 95% de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
   6. Valor esperado condicional de la cola al 95% de \(X\), \(Y\) y \(X + Y\).
2. Repite el inciso anterior; pero ahora considera que \(X\) y \(Y\) tienen distribución pareto donde una tiene valor esperado que sea el doble del valor esperado de la otra (tú decides los parámetros).

2 Solución

2.1 Caso Exponencial

Tenemos las siguientes variables aleatorias:

\[X\sim \textbf{Exp}(\lambda)\]

\[Y\sim \textbf{Exp}(2\lambda)\]

donde \(F_{x}(x)=1-e^{-\lambda x}\) y \(F_{y}(y)=1-e^{-2\lambda y}\)

Código

library(copula)
library(lattice)
library(plotly)
source("codigo.R")

# Exponential distribution for both marginals
lambda <- 1
# Parameters for the marginals
# You can adjust these parameters as needed
params1 <- lambda # Rate for the first exponential distribution
params2 <- 2*lambda # Rate for the second exponential distribution

2.1.1 Cópula Gaussiana

\[C(u,v)=\Phi_{2}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v), \rho)\]

donde \(\Phi_{2}\) es la función de distribución conjunta de una distribución normal bivariada con media cero y varianza uno y correlación \(\rho\) (esta determinará la relación negativa o positiva de las variables); y \(\Phi\) es la función de distribución de una distribución normal estándar.

2.1.1.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \Phi_{2}\left(\Phi^{-1}(1 - e^{-\lambda x}), \Phi^{-1}(1 - e^{-2\lambda y}); \rho \right)\]

2.1.1.2 Función de densidad conjunta

Código

library(copula)

rho =.9

# Definir cópula gaussiana
myCopulaP1 <- normalCopula(rho, dim = 2)
myCopulaN1 <- normalCopula(-rho, dim = 2)

# Generar muestras de la cópula
seed <-191654
n=10000
set.seed(seed)
samples <- rCopula(n, myCopulaP1) # caso positivo
samples2 <- rCopula(n, myCopulaN1) # caso negativo

# Convertir las muestras a distribuciones exponenciales

## caso positivo
samples[,1] <- qexp(samples[,1], rate = params1)
samples[,2] <- qexp(samples[,2], rate = params2)

## caso negativo
samples2[,1] <- qexp(samples2[,1], rate = params1)
samples2[,2] <- qexp(samples2[,2], rate = params2)


library(ks)

# Estimación de la densidad
dens <- kde(as.matrix(samples)) # caso positivo
dens2 <- kde(as.matrix(samples2)) # caso negativo

library(plotly)

# Convertir la estimación de densidad a un formato adecuado

## caso positivo
x <- dens$eval.points[[1]] 
y <- dens$eval.points[[2]]
z <- matrix(dens$estimate, nrow = length(x), ncol = length(y))
## caso negativo
x2 <- dens2$eval.points[[1]] 
y2 <- dens2$eval.points[[2]]
z2 <- matrix(dens2$estimate, nrow = length(x2), ncol = length(y2))

2.1.1.2.1 Caso Positivo

Código

## caso positivo
persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.1.2.2 Caso Negativo

Código

persp(x2, y2, z2, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "salmon",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.1.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP1, myCopulaN1)

2.1.1.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica. Por último, es importante destacar que el error medio para todos los cálculos simulados es de aproximadamente .005 siendo conservadores en el cálculo y usando un resultado del método Delta no paramétrico.

Código

library(kableExtra)
samples1 <- simulacionSamples(myCopulaP1,myCopulaN1, 1000000)

list_tablas1<-imprimirResultadosTabla(samples1[[1]], samples1[[2]])

2.1.1.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas1[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	2.135475
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.461326
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.417769
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.854601

2.1.1.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas1[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6541363
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8087869
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.0897296
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.0403701

2.1.2 Cópula t-Student

\[C(u,v)=\textbf{t}_{\nu}(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(u),\textbf{t}_{\nu}^{-1}(v); \rho)\]

donde \(\textbf{t}_{\nu}(;\rho)\) es la función de distribución conjunta de una distribución t-Student bivariada estandarizada y con correlación \(\rho\) (esta determinará la relación negativa o positiva de las variables); y \(\textbf{t}_{\nu}\) es la función de distribución de una distribución univaria t-Student.

2.1.2.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \textbf{t}_{\nu}(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(1 - e^{-\lambda x}), \textbf{t}_{\nu}^{-1}(1 - e^{-2\lambda y}); \rho)\]

2.1.2.2 Función de densidad conjunta

Código

# Parámetros de la cópula y las distribuciones marginales
rho = 0.9
df = 4 # Grados de libertad para la cópula t de Student

# Definir cópulas t de Student
myCopulaP2 <- tCopula(rho, dim = 2, df = df)
myCopulaN2 <- tCopula(-rho, dim = 2, df = df)

# Generar muestras de la cópula
set.seed(seed)
samples <- rCopula(n, myCopulaP2) # caso positivo
samples2 <- rCopula(n, myCopulaN2) # caso negativo

# Convertir las muestras a distribuciones exponenciales

## caso positivo
samples[,1] <- qexp(samples[,1], rate = params1)
samples[,2] <- qexp(samples[,2], rate = params2)

## caso negativo
samples2[,1] <- qexp(samples2[,1], rate = params1)
samples2[,2] <- qexp(samples2[,2], rate = params2)


library(ks)

# Estimación de la densidad
dens <- kde(as.matrix(samples)) # caso positivo
dens2 <- kde(as.matrix(samples2)) # caso negativo

library(plotly)

# Convertir la estimación de densidad a un formato adecuado

## caso positivo
x <- dens$eval.points[[1]] 
y <- dens$eval.points[[2]]
z <- matrix(dens$estimate, nrow = length(x), ncol = length(y))
## caso negativo
x2 <- dens2$eval.points[[1]] 
y2 <- dens2$eval.points[[2]]
z2 <- matrix(dens2$estimate, nrow = length(x2), ncol = length(y2))


# Crear gráficos interactivos con plotly
p3 <- plot_ly(x = ~x, y = ~y, z = ~z) %>% add_surface()
p4 <- plot_ly(x = ~x2, y = ~y2, z = ~z2) %>% add_surface()

2.1.2.2.1 Caso Positivo

Código

## caso positivo
persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.2.2.2 Caso Negativo

Código

persp(x2, y2, z2, theta = 30, phi = 30, expand = 0.5, col = "salmon",
      xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "Z")

2.1.2.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP2, myCopulaN2)

2.1.2.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples2 <- simulacionSamples(myCopulaP2,myCopulaN2, 1000000)

list_tablas2<-imprimirResultadosTabla(samples2[[1]], samples2[[2]])

2.1.2.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas2[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	2.138581
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.462389
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.403292
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.869733

2.1.2.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas2[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6541808
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8088144
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.0883376
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.0363561

2.1.3 Arquimediana Clayton

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\frac{1}{\theta}\left(t^{-\theta}-1\right)\)

2.1.3.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \max \left\{ \left((1 - e^{-\lambda x})^{-\theta} + (1 - e^{-2\lambda y})^{-\theta} - 1\right)^{-1/\theta}, 0 \right\}\]

2.1.3.2 Función de densidad conjunta

Código

# Definir parámetros de la cópula de Clayton
theta1 = 2 #  dependencia positiva
theta2 = -.9 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP3 <- claytonCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN3 <- claytonCopula(theta2, dim = 2)

grafCopula3 <- graficaDensidadCopulas(myCopulaP3,myCopulaN3)

2.1.3.2.1 Caso Positivo

Código

grafCopula3[[1]]

2.1.3.2.2 Caso Negativo

Código

grafCopula3[[2]]

2.1.3.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP3, myCopulaN3)

2.1.3.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples3 <- simulacionSamples(myCopulaP3,myCopulaN3, 1000000)

list_tablas3<-imprimirResultadosTabla(samples3[[1]], samples3[[2]])

2.1.3.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas3[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.697673
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.302948
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.052183
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.102655

2.1.3.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas3[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6894150
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8303102
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.1770782
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.1452956

2.1.4 Arquimediana Frank

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=-\ln\frac{e^{-\theta u}-1}{e^{-\theta }-1}\)

2.1.4.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = -\frac{1}{\theta} \ln \left( 1 + \frac{(e^{-\theta (1 - e^{-\lambda x})} - 1)(e^{-\theta (1 - e^{-2\lambda y})} - 1)}{e^{-\theta} - 1} \right)\]

2.1.4.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 10 #  dependencia positiva
theta2 = -15 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP4 <- frankCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN4 <- frankCopula(theta2, dim = 2)

grafCopula4 <- graficaDensidadCopulas(myCopulaP4,myCopulaN4)

2.1.4.2.1 Caso Positivo

Código

grafCopula4[[1]]

2.1.4.2.2 Caso Negativo

Código

grafCopula4[[2]]

2.1.4.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP4, myCopulaN4)

2.1.4.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples4 <- simulacionSamples(myCopulaP4,myCopulaN4, 1000000)

list_tablas4<-imprimirResultadosTabla(samples4[[1]], samples4[[2]])

2.1.4.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas4[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.980368
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.407255
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	4.375804
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	5.524611

2.1.4.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas4[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	0.6440756
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	0.8025432
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.0969294
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.0613070

2.1.5 Arquimediana Ali-Mikhail-Haq (AMH)

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\ln\frac{1-\theta(1-u)}{u}\)

2.1.5.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) =\frac{(1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-2\lambda y})}{1 - \theta (e^{-\lambda x})((e^{-2\lambda y}))} \]

2.1.5.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 1 #  dependencia positiva
theta2 = -1 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP5 <- amhCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN5 <- amhCopula(theta2, dim = 2)

grafCopula5 <- graficaDensidadCopulas(myCopulaP5,myCopulaN5)

2.1.5.2.1 Caso Positivo

Código

grafCopula5[[1]]

2.1.5.2.2 Caso Negativo

Código

grafCopula5[[2]]

2.1.5.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D(myCopulaP5, myCopulaN5)

2.1.5.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples5 <- simulacionSamples(myCopulaP5,myCopulaN5, 1000000)

list_tablas5<-imprimirResultadosTabla(samples5[[1]], samples5[[2]])

2.1.5.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas5[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.538654
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.240425
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.913804
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.938352

2.1.5.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas5[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	1.000000	0.250000	1.020630
Desviaciones Estándar	1.000000	0.500000	1.010263
Cuantiles al 95%	2.995732	1.497866	3.427828
Valor esperado condicional de la cola al 95%	3.995732	1.997866	4.367090

2.2 Caso Pareto

Tenemos las siguientes variables aleatorias:

\[X\sim \textbf{Pareto}(\alpha, 2\nu)\]

\[Y\sim \textbf{Pareto}(\alpha, \nu)\]

donde \(F_{x}(x)=1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\) y \(F_{y}(y)=1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\)

Código

library(actuar)
# Params of a pareto
nu <- 1
pareto_params1 <- 2*nu 
pareto_params2 <- nu 

alpha <- 3

2.2.1 Cópula Gaussiana

\[C(u,v)=\Phi_{2}(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v))\]

2.2.1.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \Phi_{2}\left(\Phi^{-1}\left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right), \Phi^{-1}\left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right); \rho \right)\]

2.2.1.2 Función de densidad conjunta

Código

rho =.9

# Definir cópula gaussiana
myCopulaP1 <- normalCopula(rho, dim = 2)
myCopulaN1 <- normalCopula(-rho, dim = 2)

pgrafCopula1 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP1,myCopulaN1)

2.2.1.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula1[[1]] 

2.2.1.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula1[[2]]

2.2.1.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP1, myCopulaN1)

2.2.1.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples6 <- simulacionSamples2(myCopulaP1,myCopulaN1, 1000000)

list_tablas6<-imprimirResultadosTabla2(samples6[[1]], samples6[[2]])

2.2.1.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas6[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	5.914461
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.431967
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	5.087396
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	8.946431

2.2.1.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas6[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.960674
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.720661
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.828810
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.621482

2.2.2 Cópula t-Student

\[C(u,v)=\textbf{t}_{\nu}(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(u),\textbf{t}_{\nu}^{-1}(v); \rho)\]

donde \(\textbf{t}_{\nu}(;\rho)\) es la función de distribución conjunta de una distribución t-Student bivariada estandarizada y con correlación \(\rho\) (esta determinará la relación negativa o positiva de las variables); y \(\textbf{t}_{\nu}\) es la función de distribución de una distribución univaria t-Student.

2.2.2.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \textbf{t}_{\nu}\left(\textbf{t}_{\nu}^{-1}(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}), \textbf{t}_{\nu}^{-1}(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}); \rho \right)\]

2.2.2.2 Función de densidad conjunta

Código

# Parámetros de la cópula y las distribuciones marginales
rho = 0.9
df = 4 
# Definir cópulas t de Student
myCopulaP2 <- tCopula(rho, dim = 2, df = df)
myCopulaN2 <- tCopula(-rho, dim = 2, df = df)

pgrafCopula2 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP2,myCopulaN2)

2.2.2.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula2[[1]] 

2.2.2.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula2[[2]]

2.2.2.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP2, myCopulaN2)

2.2.2.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples7 <- simulacionSamples2(myCopulaP2,myCopulaN2, 1000000)

list_tablas7<-imprimirResultadosTabla2(samples7[[1]], samples7[[2]])

2.2.2.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas7[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	7.204330
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.684088
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	5.057448
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	9.021036

2.2.2.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas7[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.812011
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.676905
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.817036
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.559754

2.2.3 Arquimediana clayton

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\frac{1}{\theta}\left(t^{-\theta}-1\right)\)

2.2.3.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = \max \left\{\left( \left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right)^{-\theta} + \left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right)^{-\theta} - 1\right)^{-1/\theta}, 0 \right\}\]

2.2.3.2 Función de densidad conjunta

Código

# Definir parámetros de la cópula de Clayton
theta1 = 2 #  dependencia positiva
theta2 = -.9 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP3 <- claytonCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN3 <- claytonCopula(theta2, dim = 2)

pgrafCopula3 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP3,myCopulaN3)

2.2.3.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula3[[1]] 

2.2.3.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula3[[2]]

2.2.3.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP3, myCopulaN3)

2.2.3.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples8 <- simulacionSamples2(myCopulaP3,myCopulaN3, 1000000)

list_tablas8<-imprimirResultadosTabla2(samples8[[1]], samples8[[2]])

2.2.3.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas8[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	4.249083
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.061330
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	4.797456
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	7.755103

2.2.3.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas8[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.787991
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.669728
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.907986
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.666727

2.2.4 Arquimediana Frank

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=-\ln\frac{e^{-\theta u}-1}{e^{-\theta }-1}\)

2.2.4.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) = -\frac{1}{\theta} \ln \left( 1 + \frac{\left(e^{-\theta \left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right)} - 1\right)\left(e^{-\theta \left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right)} - 1\right)}{e^{-\theta} - 1} \right)\]

2.2.4.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 10 #  dependencia positiva
theta2 = -15 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP4 <- frankCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN4 <- frankCopula(theta2, dim = 2)

pgrafCopula4 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP4,myCopulaN4)

2.2.4.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula4[[1]] 

2.2.4.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula4[[2]]

2.2.4.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP4, myCopulaN4)

2.2.4.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples9 <- simulacionSamples2(myCopulaP4,myCopulaN4, 1000000)

list_tablas9<-imprimirResultadosTabla2(samples9[[1]], samples9[[2]])

2.2.4.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas9[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	4.884110
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	2.210002
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	5.171843
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	8.394538

2.2.4.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas9[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	2.722285
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.649935
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	3.845165
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.594506

2.2.5 Arquimediana Ali-Mikhail-Haq (AMH)

\[C(u,v)=\phi^{-1}(\phi(u)+\phi(v))\]

donde \(\phi(u)=\ln\frac{1-\theta(1-u)}{u}\)

2.2.5.1 Función de distribución conjunta

\[H(x, y) =\frac{\left(1-\left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\right)\left(1-\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}\right)}{1 - \theta \left(\frac{2\nu}{x+2\nu}\right)^{\alpha}\left(\frac{\nu}{y+\nu}\right)^{\alpha}} \]

2.2.5.2 Función de densidad conjunta

Código

theta1 = 1 #  dependencia positiva
theta2 = -1 #  dependencia negativa

# Definir cópulas de Clayton
myCopulaP5 <- amhCopula(theta1, dim = 2)
myCopulaN5 <- amhCopula(theta2, dim = 2)

pgrafCopula5 <- graficaDensidadCopulas2(myCopulaP5,myCopulaN5)

2.2.5.2.1 Caso Positivo

Código

pgrafCopula5[[1]] 

2.2.5.2.2 Caso Negativo

Código

pgrafCopula5[[2]]

2.2.5.3 2D

Código

graficaDependenciaCopulas2D2(myCopulaP5, myCopulaN5)

2.2.5.4 Resultados

Para obtener los resultados de las estadísticas pedidas se generó una muestra de 1000000 observaciones de la cópula y se calcularon las estadísticas para cada una de las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) y para la suma de ambas \(X+Y\). Cabe resaltar que como sí conocemos muy bien las variables aleatorias \(X\) y \(Y\), las estadísticas de estas fueron calculadas de manera analítica.

Código

library(kableExtra)
samples10 <- simulacionSamples2(myCopulaP5,myCopulaN5, 1000000)

list_tablas10<-imprimirResultadosTabla2(samples10[[1]], samples10[[2]])

2.2.5.4.1 Caso Positivo

Código

library(kableExtra)
list_tablas10[[2]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	3.883578
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.970679
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	4.636741
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	7.517049

2.2.5.4.2 Caso Negativo

Código

library(kableExtra)
list_tablas10[[1]]

Metrica	X	Y	sum.X.Y.
Varianzas	3.000000	0.7500000	3.240588
Desviaciones Estándar	1.732051	0.8660254	1.800163
Cuantiles al 95%	3.428835	1.7144176	4.118832
Valor esperado condicional de la cola al 95%	6.143253	3.0716264	6.869987